когда функция не дифференцируема в точке

 

 

 

 

Напр функция не дифференцируема в точке , вместе с тем она дифференцируема в этой точке как слева, так и справа, т. е. имеет в этой точке левую и правую производные. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная и производная равна линейной части приращения( ). Доказательство. 1) Пусть функция - дифференцируема в точке . Тогда по определению дифференцируемой функции ее приращение можно представить в виде , где - конечное число, а - бесконечно малая при функция более высокого порядка, чем . Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то. есть ее приращение представимо в виде (1). Разделим равенство (1) на x 0 и перейдем к пределу при x 0 . В результате получим. lim y A lim (x) A . Пусть функция у fix) дифференцируема в точке х. Докажем, что в этой точке существует производная fix).Поэтому операцию нахождения производной функции называют также дифференцированием этой функции. Курсовая работа по математическому анализу. Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции».2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом Другими словами, функция дифференцируема в точке , если ее приращение эквивалентно функции : при . Выражение в этом случае представляет собой главную часть приращения , линейно зависящую от и .

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а b] или интервала (а b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а b] или соответственно в интервале (а b). 2) Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этойИспользуя правило дифференцирования сложной функции, можно обосновать правило дифференцирования обратной функции. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Пусть функция y f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция f(x) называется. дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде. Поэтому часто слова вычисление производной и дифференцирование считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная. Дифференцирование функций одной переменной. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.Для того чтобы функция y f (x) была дифференцируема в точке x0 Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то эта функция непрерывна в точке x0.Обратное утверждение не верно: непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Простейшие свойства дифференцируемых функций.

Дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию в этой точке конечной производной. Точнее справедлива следующая. Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и . При этом ,, где и числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде а полный дифференциал функции Пусть переменная у является функцией переменной х, дифференцируемой в точке х0 : y у(x), где у(х) - функция, дифференцируемая в точке х0 . Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. имеет место равенство (2.1). Разделив его на , получим . Переходя к пределу при , видим, что , т.е. предел правой части существует и равен А, значит, существует и предел левой части, т.е. , причем . Дифференциал функции. Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E, если ее приращение f(x0), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке у нее существовала производная.Замечание.Процесс нахождения производной функции в точке называют дифференцированием. НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ - функция, не имеющая дифференциала. В случае функций одного переменного Н. ф.- это функция, не имеющая производной. Напр функция не дифференцируема в точке, вместе с тем она дифференцируема в этой точке как слева Функция, дифференцируемая в Каждой точке X некоторого промежутка оси Ох (например, интервала (A B) или отрезка [A B]) называется Дифференцируемой на этом промежутке. Дифференцируемость функции в точке. Определение Функция yf(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение y в точке x0 может быть представлено в виде: yAx(x)x, где A -- некоторое число, независящее от x, а (x) Следовательно, функция является дифференцируемой в точке . Правила дифференцирования также были сформулированы в предыдущей лекции. Докажем теперь некоторые из них. Теорема 1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только том случае, когда она в этой точке имеет конечную производную. 1) Пусть у функции f существует конечная производная f(x), т. е. существует конечный предел ( x/ y) f(x0). у той функции что я привел -> если у ней есть производная в точке 0 - значит она дифференцируема, если нет производной - значит нет. соответственно вопрос - есть ли у этой функции в точке 0 производная? Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а b] или интервала (а b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а b] или соответственно в интервале (а b). Если функция в данной точке дифференцируема, то в этой точке функция непрерывна.То есть в итоге мы получили, что функция yf(x), дифференцируемая в точке x0, является в этой точке и непрерывной функцией. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (3.4).Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием . Формулировка: Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке.Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка, то она ( дифференцируема на промежутке). , а сама функция не дифференцируема в этой точке. Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. yAx(x)x.Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке. Если функция yy(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке . Доказательство. Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если изменение ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной х — а смещения от точки а. Определение.Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве. Например, функция дифференцируема на всей плоскости . Дифференцирование сложной функции. ТЕОРЕМА (о производной сложной функции). Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , тогда сложная функция дифференцируема в Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем . Дифференцируемая (в точке) функция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемая функция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё Дифференцирование сложной функции. Пусть функция дифференцируема в точке и функция дифференцируема в точке ( ), тогда сложная функция дифференцируема в точке и её производная определяется формулой Приводятся правила дифференцирования функций.то тогда функция называется дифференцируемой в точке x x0.функции в точке следует, что функция является дифференцируемой Если функция f дифференцируема в каждой точке множества M, то говорят, что эта функция дифференцируема на множестве M (fD(M).Иными словами, функция, дифференцируемая в точке x0, непрерывна в этой точке. Определение функции, дифференцируемой в точке. Глава 3. Производная функции одной переменной.График функции имеет в точке касательную тогда и только тогда, когда функция имеет в точке производную . 4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. 1. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Пусть функция двух переменных определена в некоторой открытой области плоскости , точка области . Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а b] или интервала (а b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а b] или соответственно в интервале (а b). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Док-во. Пусть функция yf(x) дифференцируема в точке . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде . Однако обратное утверждение несправедливо функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке. Теория по алгебре >> Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.

Функция, дифференцируемая в каждой точке x некоторого промежутка оси ох (например, интервала (a b) или отрезка [a b]) называется дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее дифференцированием Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке.Если функция дифференцируема в , то, 1.Она непрерывна в этой окрестности. 2.Существуют частные производные , i1,m причем.

Записи по теме: